¡Logaritmos!

Hace unos días vi “Funciones exponenciales y logarítmicas” en la U…fue una fucking clase, solo una, para un tema raro que no había visto nunca…Pero bueno, logré interpretarlo de manera ágil.

Resulta y sucede que este tipo de exóticas ecuaciones son, casi siempre, igualdades en las que hay que despejar la variable (generalmente x), logrando así hallar los valores de la misma para los cuales la igualdad se cumple. Desde el punto de vista de la lógica, lo que hay que hacer, es aplicar un cuantificador existencial y hallarlo, pero a diferencia de en el método lógico, en álgebra la x no se puede hallar por “tanteo” (como en la mayoría de los casos lógicos), sino que se deben aplicar las propiedades de los logaritmos y de los exponentes (a parte de todo el conocimiento algebraico posible [casos de factorización, etc.]) para tal fin.

Ejemplo

log(x-5) – log(x) = log(2)

log[(x-5)/x] = log(2), por propiedad de resta de logaritmos.

10^{log[(x-5)/x]} = 10^log(2), elevo ambos lados de la igualdad con la misma base.

(x-5)/x = 2, por propiedad cancelativa entre una base elevada a un logaritmo con la misma base como base propia.

x-5 = 2x, despejo.

x-5-2x = 0, igualo a cero.

-5-x = 0, opero.

-5 = x, despejo x.

x = -5, por ley de reemplazo.

Y así, hemos hallado el valor de x para el cual la igualdad inicial, se cumple.

Para comprobar, reemplazamos.

log(-5-5) – log(-5) = log(2)

log(-10) – log(-5) = log(2)

Como los logaritmos de número negativos NO existen, debemos buscar la manera de evitar la indeterminación.

log(-10/-5) = log(2), por propiedad de resta de logaritmos.

log(2) = log(2), pues -10/-5 = 10/5 = 2

Efectivamente, la igualdad se cumple para x=-5.

¡Este tema me pareció de lo más interesante!, y es aún mejor cuando le coges el hilo.

Santiago Restrepo Castillo


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