Entonces…¿log_0(0)?

A veces, cuando me estoy duchando, utilizo la puerta de cristal bañado en vapor como pizarra, y se me ocurren cosas…

Hoy, para despejar alguna idea, escribí √-1…luego puse el “=i”…y por alguna razón empecé a escribir algo relacionado con los logaritmos.

Una función exponencial, eso ya todos lo saben, es algo como…5^4 (“cinco a la cuatro”), x^y, etc. Estas funciones tienen ciertas restricciones, pues según el exponente que se utilicen, pueden resultar siendo lo mismo que una raíz.

Por ejemplo, raíz de dos, puede ser expresado también como 2^(1/2)…

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Se puede ver claramente que en el InputBox ingresé 2^(1/2), y WolframAlpha simplemente lo interpretó como raíz de dos.

Una fórmula general para esto es:

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=

z√(x^y)

En fin, ¿qué pasaría si computáramos -1^(1/2)?…esto viene siendo igual a raíz cuadrada de -1, lo cual, en el campo de los números reales, no existe. ¿Y qué pasaría si computáramos -1^(1/3)?, esto sería igual a raíz cúbica de -1, lo cual sí existe en los números reales, es -1.

Entonces, una función exponencial no puede tener base negativa y exponente racional con denominador par, las dos cosas al mismo tiempo…Puede ser cualquiera de ellas, ¡pero no las dos al mismo tiempo!

Los matemáticos de antaño, al descubrir este tipo de función, y ya teniendo el conocimiento de las funciones inversas, ingeniaron, precisamente, una función inversa para la función exponencial, la cual bautizaron “función logarítmica”.

La función logarítmica es bastante simple, hace lo inverso de la exponencial (redundancia…), si tengo por ejemplo 2^3=8, puedo decir log_2(8)=3

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La función logarítmica, te dice a qué número tienes que elevar la base (en este caso sería el 2) para que te de el argumento (en este caso el 8…y en este caso, el logaritmo sería el 3).

En fin.

¿¡Por qué tanta carreta!?…Lo que copié en la ducha fue log_0(0)

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Y llegué a asustarme (jajaja), porque eso puede ser igual a cualquier número real.

log_0(0)=1 <=> 0^1=0

log_0(0)=2 <=> 0^2=0

log_0(0)=n <=> 0^n=0

Esto último se cumple para CUALQUIER número que pertenezca al conjunto de los números reales, menos el cero, pues 0^0 es una indeterminación (multiplicar cero veces el cero por si mismo simplemente es igual a no hacer nada, el resultado es inexistente, ni siquiera imaginario).

log_0(0)=n <=> 0^n=0, n perteneciente a R-{0}

Y aquííí es en donde viene lo extraño…

En matemáticas, las igualdades siempre me han parecido interesantes, a veces generan problemas que la mayoría decide ignorar, y algunas otras veces, problemas a los que genios matemáticos les dedican su vida entera.

Hay un problema muy popular, lo vi una vez en Facebook:

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Es muy simple, si decimos que p=q y luego que q=s, entonces podemos perfectamente darnos la libertad de decir que p=s (esto se llama transitividad)…Pero esto a veces genera problemas, como el anterior.

Lo que se me ocurrió en la ducha, fue algo tonto, pues no recordé que 0^0 no existía, entonces pensé que log_0(0)=0 era cierto, y si log_0(0) es también igual a cualquier número real, entonces todos los números reales son iguales a cero…Eso fue lo que me asustó en un principio jajaja, me dio una extraña sensación de que había acabado de demostrar matemáticamente que nada real lo es (WTF!). Pero luego me senté y en una hoja, y con calma, empecé a escribir lo de la pizarra, y me di cuenta de que no era cierto y punto. Pero hice algo todavía más extraño.

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Siéntanse libres de analizar

Si dijéramos que log_0(0) es igual a 1, o a 2 o a cualquier otra cosa, estaríamos diciendo que todos los números reales (menos el cero) son iguales entre sí, por lo que prácticamente solo existirían dos números en el conjunto real, el 0 y el 1, o el 0 y el 2, o el 0 y el 3, o el 0 y el 23234235234, o el 0 y el -2223.1123, da igual, pues todos los números serían iguales. Es por esto que debemos decir que log_0(0) es una indeterminación, no sabemos realmente cuál es su resultado, y mucho menos si tiene resultado alguno.

Pero esto es una contradicción enorme (a mi parecer) de los fundamentos matemáticos, pues la función logarítmica es la inversa de la exponencial, y si 0^n, con n perteneciente a los números reales y diferente de cero, efectivamente da cero…

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¿Por qué no podemos decir que log_0(0) es igual a 1, si para que cero me de cero, necesito elevar cero a la 1?

Quizás las matemáticas humanas no sean perfectas, hay puntos críticos en los que simplemente debemos restringir el acceso, denegar la posibilidad de algo y tratar de saber por qué no es posible. Pero bueno, el mundo se me hace muchísimo más interesante cuando ni siquiera las matemáticas se salvan de la imperfección.

Anexo:  Introduje en Wolfram|Alpha mi petición de saber si log_0(0) es igual a 1, esto fue lo que apareció:

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Exacto, nada…jajaja.

Santiago Restrepo Castillo


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