Let the freedom begin

Una de la tarde del martes 4 de junio del 2013: examen final de cálculo integral.

1. Plantee la integral que define el volumen del sólido de revolución que resulta al girar la curva y=e^-x+4 (en el primer cuadrante) alrededor de x=2…

“Bosquejos, bosquejos…interceptos, interceptos…¿cómo es la gráfica de e^x…y la de e^-x?…¿están bien los interceptos?…bueno, ya, hermosa la gráfica…Si lo hago por capas cilíndricas el radio es 2-ln(4)+x…¿seguro?…mmm, lo planteo por capas y por arandelas, por si acaso…por arandelas el radio grande es 2 y el pequeño es f(y)…tengo que despejar la x de esa fucking ecuación…a ver…y=e^-x+4 entonces e^-x=y-4 entonces e^x=4-y (?) por lo tanto x=ln(4-y) (¡?)…”

Nota: Despejo erróneo, f(y) es una función compleja…Función transcrita errónea, es -e^x, no e^-x…

2. Plantee la integral que permite calcular el área de las ecuaciones polares r=2-sin(theta) y r=3sin(theta) (por dentro de r=2-sin(theta) y por fuera de r=3sin(theta)).

“Simetrías…simetrías, ¿cómo son las simetrías?…dibujo, r, theta, -r, -theta, pi+theta, ¿o pi-theta?…interceptos…jmmm, theta=arcsin(1/2)…bonita hora de venir a necesitar una calculadora científica, en el final de cálculo integral, eso le pasa por no comprar calculadora en todo segundo semestre…mejor siga con las tablas…FUCK!, cómo voy a saber cuánto dan esas funciones evaluadas en pi/6, y en pi/3, y en 5pi/4…CALMA. A ver, ¿qué aprendimos en Lógica y Álgebra, la función seno es positiva en el primer y segundo cuadrantes, negativa en el tercero y en el cuarto; los valores son los mismos, solo se cambia el signo, por las simetrías de la función…entonces, si hago la tabla con un step de pi/6…solo voy a necesitar cuatro valores de la función seno y reemplazo y opero en esta suma-huevos que me traje (pura calculadora de tienda de esquina)…bueno, pi/6 es (…) 30°, entonces pi/3 es 60°…en Lógica y Álgebra me enseñaron a hacer el triángulo equilátero de lados 1, todos los ángulos miden 60° por propiedad de triángulo equilátero (Geometría euclidiana), y trazo una mediana que además es altura y bisectriz (porque todo triángulo equilátero es isósceles y en todo triángulo isósceles la mediana respectiva a la base también es altura, bisectriz y mediatriz), entonces tengo dos triángulos congruentes, me sirve cualquiera de ellos. Los ángulos son…EUREKA!, 90°, 30° y 60°, aunque solo necesito 30° y 60° (la función seno para 90° me la sé al derecho y al revés)…Bueno, tengo que despejar esa altura que tracé…pues por Geometría euclidiana sé que la altura de un triángulo en función de los lados es sqrt(3)/2 por el lado, y en este caso el lado es 1, entonces esa altura es raíz de tres sobre dos. Listo, la función seno es cateto opuesto sobre hipotenusa, entonces…¡epa!, sin(60°) es raíz de tres sobre dos…que según esta suma-huevos eso es aproximadamente…0.86, y sin(30°) es exactamente 0.5. Perfecto, ahora solo necesito aplicar simetrías y la función seno en los ángulos notables para tener las tablas listas (………). De haber tenido calculadora científica como todos me habría demorado 5 minutos con esas tablas, pero no, Santiago tenía que llevar una suma-huevos, ahí se fue media hora, pero bueno. Grafiquemos…ahora el área…listo, son tres integrales…ojalá esté bien…”

3. Considere la serie desde n=0 hasta infinito de (…), determine el intervalo de convergencia absoluta, determine el radio, determine si en los extremos hay convergencia condicional o divergencia…

“Ay…esto es lo más fácil definitivamente…a ver, criterio de la razón…por ahí sale de una, a-sub-n es (…) entonces a-sub-n+1 es (…), el límite cuando n tiende a infinito de este sobre este…jmm, una parte sale de una, por otra tengo que bautizar la función, utilizar el logaritmo natural…L’Hôpital…luego eso me da 0, entonces e^0 me da 1, entonces el límite en definitiva da…x menos 2 sobre 5. Resuelvo la inecuación que tengo que plantear y…listo, el intervalo de convergencia absoluta es (2/5, 3). Ahora tengo que evaluar la serie en esos extremos…por 2/5 converge, por 3 no…y el radio es 3 menos 2/5, todo sobre 2…Listo. Facilito, esto me salva la nota en caso de que algo inesperado ocurra jejeje…”

4. Considere la función f(x)=x^3*ln(1+x). Plantee una serie de potencias equivalente a la función y luego evalúe la integral de 0 a 1/3 de la función dada.

“Ay dios, ¿cómo es que es lo de la integral?…mmm, ahora miro. 1/(1+x)=sum((-1)^n*x^n) desde n=0 hasta el infinito, entonces la integral de 1/(1+x) es la integral de esa sumatoria…y la integral de 1/(1+x) es logaritmo natural de 1+x, entonces ahí está la serie de potencias para ln(1+x), pero necesito la de x^3+ln(1+x)…entonces multiplico la sumatoria integrada por x^3, y listo, meto ese x^3, entra sumándole un 3 al exponente de la x que ya había…Ahí está, converge para toda x en el intervalo (-1, 1)…Ahora, lo de la integral…simplemente, la integral de esa función, es la integral de esa sumatoria (por eso nos enseñaron esto, porque integrar y derivar sumatorias es excesivamente fácil), y los límites de integración están en el intervalo de convergencia, entonces…integro la sumatoria y la evalúo, reemplazo x por 1/3 y por 0…expando, opero con la suma-huevos y entrego el examen”

Sales del examen, comparas tus procedimientos y respuestas con la niña que salió de primero y que tiene un promedio de aproximadamente 4.5, te dice que el último punto (el de la integral) lo tienes malo, daba positivo, no -0.00061, en fin, resultó que se te olvidó multiplicar por cero (…). Más tarde, en la noche, te dicen que la función era -e^x, no e^-x, te equivocaste transcribiendo…pero bueno, no importa.

El semestre se acabó…¿es fácil de creer?, ¡no!, ¡no es fácil de creer!, hace nada estabas entrando a primer semestre, con un montón de expectativas y una tonta sonrisa en tu rostro, ¡ahora acabas de terminar el Año de Ciencias Básicas!, ¡por Alá!, ¡pasaste Lógica y Álgebra, Química General e Inorgánica, Geometría euclidiana (después de haberla cancelado cuando era euclidiana y vectorial), Informática (orientada a procesos), Introducción a la Ingeniería, Cálculo diferencial, Álgebra lineal, Proyecto de Ingeniería I, Física mecánica (bueno…eso crees), Contexto colombiano, Comunicación y ciencia, Cálculo integral!, y además estuviste en un semillero de modelación biológica, participaste en un concurso de cuento, fuiste al gimnasio decenas de veces, participaste en recitales de piano y te enfureciste en el Café del Búho, tocando canciones del pasado en la clavinova…Tuviste jornadas (de lunes a jueves durante segundo semestre) de ocho de la mañana a seis de la tarde, las soportaste todas, fuiste a talleres, asesorías, prácticas de laboratorio, presentaste seguimientos y quices sorpresa…decenas y decenas de exámenes, parciales, finales…Aprendiste a derivar, a integrar, a hallar espacios vectoriales, a hacer demostraciones geométricas y matemáticas, recordaste todos los fundamentos de programación orientada a procesos, aprendiste toda la trigonometría a la que le habías huido durante tus años de bachiller, formaste tu mente de un modo que siempre, siempre quisiste, ahora piensas como todo un matemático, analizas los problemas de la vida desde un punto de vista lógico y estructurado, entiendes con mayor facilidad, ¡sientes una diferencia!, ¡definitivamente la sientes!; despejas rápidamente, calculas rápidamente, conoces teorías matemáticas que te intrigan y te hacen querer saber más, modelas situaciones reales para predecir sucesos, ¡predices el futuro usando Procesos de Markov!, y generas datos probables utilizando mínimos cuadrados; entiendes el universo (o al menos, una pequeñísima parte del mismo) desde un punto de vista físico, en el que las ecuaciones de la vida vienen a tu mente cada vez que una moneda cae al piso o que tu cuerpo entra en el agua de una piscina ideal (…). Sabes tantas cosas a comparación con lo que sabías ese primer día, cuando entraste a la universidad, temblando de frío y mirando con ojos de intriga a todos tus nuevos compañeros…que te sorprendes, definitivamente lo has logrado, has logrado sentir que eres capaz con esas materias que tanto te agobiaron en tiempos pasados…y ahora parece lo más lógico, pues no había razón alguna por la que eso no sucediera, así que ahora definitivamente te has deshecho de un paradigma, lo botaste a la basura, tardaste más de un año, pero valió la pena. Ahora la matemática es tu aliada, y siempre lo habías querido de esa forma.

Pero no todo en la vida es matemático (bueno, casi todo…pero no, no todo jajaja). Estás en VACACIONES, y hay una alta probabilidad de que te vayas a vivir a Brasil el próximo semestre, así que, ¿qué vas a hacer?

¿Qué vas a hacer?

Una hermosa pregunta, realmente tienes el poder de elegir (bueno, no tanto poder como te gustaría, pero al menos tienes libertad en lo que a tiempo respecta).

Empiezas a pensar…y montones de ideas vienen a tu mente…montones de escenas, montones de imágenes…cosas que quieres hacer.

Lo primero que haces es publicar un estado en tu Facebook: “Time to Disappear”…algo tonto, pero querías hacerlo, así que lo hiciste. ¿Por qué?, porque para el 99% de la gente que conoces, vas a desaparecer, y eso te gusta, te hace sentir bien, porque se traduce en un tiempo de reflexión y cambio increíblemente valioso en el que puedes compartir tiempo contigo mismo…nada mejor que eso: la autotelia. Quieres alejarte un poco para volver a recuperarte, para rescatarte de las profundas catatumbas de la dejadez en las que cayó una parte importantísima de ti al empezar a verse tan agobiada por las presiones de la vida de un universitario (vida social, vida académica, vida familiar, vida amorosa…demasiadas cosas).

Ya no vas a tener que trasnochar estudiando, ni vas a tener que estudiar porque te están evaluando (así que siéntete libre de investigar sobre teorías matemáticas sin temor a nada). Ya no vas a estar falto de tiempo para hacer deporte, ni para cuidar bien de tu perro, así que sal a trotar todos los días en las mañanas y en las noches si quieres, saca a tu perro a pasear una hora diaria, ve con el hasta Ciudad del Río y déjalo jugar con otros animales, acuéstate en la grama y contempla el cielo, déjate llevar por las nubes…Levántate con una bella melodía para piano que vas a componer en este tiempo de recuperación, luego empieza a leer un libro que siempre has querido leer, y sigue escribiendo ese libro que dejaste en la página 400 porque entraste a segundo semestre. Sube en bicicleta hasta el alto de las palmas, y nada las noches que quieras en la piscina de tu unidad. Ve a la terraza de la torre 2 sin preocuparte por que al otro día tienes clase de ocho. ¡Hay todo un mundo de posibilidades que puedes y debes aprovechar!, ¡no dejes que el tiempo se te escurra!, ¡haz de él tu aliado!, así como hiciste con la matemática, empieza a deshacerte de otro paradigma y crece, crece como persona, humanízate y evoluciona.

Ya es tiempo.

Tan solo, tan solo…deja que la libertad venga a ti, al tiempo que tú vas hacia ella…en síntesis, acudiendo al popular spanglish…let the freedom begin.

🙂

Santiago Restrepo Castillo


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