Sustitución en ecuaciones

Era una tarde como cualquier otra de un julio vacacional ad portas de un viaje de 4 meses (o más) a Brasil, me encontraba navegando por el Internet, con la esperanza de toparme con algo interesante…cuando de repente, apareció este artículo de Gaussianos (porque todo tiende a infinito):

http://gaussianos.com/olimpiada-matematica-de-asturias-2013-problema-5/#comment-104918

El problema enunciado dice que se debe resolver la ecuación planteada y además encontrar las aproximaciones (en grados) a 2013°. Vamos a limitarnos a resolver la ecuación.

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Una interesante ecuación, lo primero que me dije fue “Oh por el Monstruo del Espagueti Volador, una ecuación trigonométrica-logarítmica”, aunque en realidad es trigonométrica, exponencial y algebraica (al menos en teoría).

Me dispuse a darle solución a semejante ecuación, confiando en mis capacidades para resolver ecuaciones exponenciales y trigonométricas que adquirí en el curso de Lógica y Álgebra de mi primer semestre de Ingeniería Biomédica.

Después de tres páginas de intentos fallidos (montones de transformaciones algebraicas, factorizaciones que solo lograban hacer más complicada la ecuación, utilización de identidades trigonométricas con las que logré expresarlo todo en términos de la función seno, manipulación con logaritmos base 2 [que no funcionaban porque no lograba eliminar la suma del lado izquierdo de la igualdad]), me desesperé tanto que me rendí (cabe mencionar que en un momento llegué a hacer la sustitución u=(sinx)^2 para que se viera mas simple la cosa, pero luego me dije que mejor no, porque de pronto me confundía [o se me olvidaba que existían las identidades trigonométricas, que podrían resultar siendo esenciales]) e ingresé la ecuación en Wolfra Alpha.

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No había un “step-by-step solution”, deduje que Wolfram había calculado la solución numérica de dicha ecuación utilizando el Método de Newton-Raphson (conocimiento que, universitariamente hablando, hace parte de una materia llamada Métodos Numéricos), así que había que calcular derivadas y todo el rollo…¿será?

Aún no había visto los comentarios hechos por gente del común en la entrada de Gaussianos que proponía el particular problema, y apenas vi que Wolfram había utilizado algo de Métodos Numéricos, me dije que lo más probable era que las personas que lo resolvieron y lo comentaron también habían hecho lo mismo (de hecho, estuve convencido de que no había manera “normal” de resolver aquella exótica ecuación, es decir, no se podía hacer con las operaciones básicas conocidas [que pase a multiplicar, que divida por alguna cosa que lo simplifique todo, que desbarate lo que tiene exponente, que use logaritmos, que use identidades trigonométricas…o sea todo lo que yo hice], porque sé por experiencia propia que ese tipo de ecuaciones existen).

El primer comentario ofrece una solución que utiliza no solo conceptos de igualdad, sino de desigualdad, y algo de lógica, pues deduce que:

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Lo cual, en este caso, es cierto. Lo demás es demasiado simple como para ser descrito.

El segundo comentario ofrece una solución enfocada a los periodos de una función (de las funciones seno y coseno)…y también empleó la derivación para hallar mínimos y máximos (?). La verdad, no entendí mucho dicha solución (que al parecer es correcta), ese método de resolver ecuaciones por deducciones lógicas aparentemente muy ajenas a la ecuación misma y por periodos de funciones trigonométricas si que no lo conocía, tendría que estudiarlo atentamente para comentarlo.

El tercer comentario ofreció una solución por sustitución…Así es, ¡sustitución algebraica!, de la buena, de la barata, de la más simple (jejeje).

La primera vez en mi vida que oí de sustitución fue en primer semestre, en Cálculo Diferencial, cuando había que hacer un cambio de variable en algunos límites trigonométricos (antes de tener conocimiento alguno de la regla de L’Hôpital) para que pudieran ser resueltos. Aquello me parecía de lo más tedioso, era como lo más avanzado y complejo que conocía hasta el momento…

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Aunque aquello no era propiamente una SUSTITUCIÓN, con todo el rigor de la palabra. Un semestre después, en Cálculo Integral, la conocí como tal, y me di cuenta de que era el método más simple que existe para resolver una integral (y ahora sé que es el método más simple que existe para resolver la ecuación diferencial más simple que existe…pero bueno, eso es otro cuento). Así que la sustitución empecé a emplearla con avidez para la solución de integrales, que son cosas relativamente avanzadas (la Humanidad necesitó miles de años [de hecho más, si hablamos de cuándo apareció el humano moderno] para llegar al concepto de la integral). Jamás en la vida había utilizado sustitución para resolver una simple ecuación en la que hay que hallar un valor numérico, por más logarítmico-trigonométrica-exponencial-algebraica o hasta compleja que fuera la susodicha.

Pero sí, al parecer la sustitución también es increíblemente útil para resolver ecuaciones de ese tipo.

En este caso, las sustituciones necesarias son:

y=(sinx)^2

z=2^y

Bastante simple, ¿no?

Sé que si llegaron hasta este punto del post es porque en verdad les causa interés y que tendrán el nivel de entusiasmo necesario como para intentar resolver la ecuación utilizando las sustituciones mencionadas, así que no me tomaré la molestia de publicar el proceso.

Nota: Para lo de las aproximaciones a 2013°, primero que todo se pasa la solución de radianes a grados (hay que tener en cuenta también que la solución de una ecuación en la que la incógnita se encuentra dentro de funciones trigonométricas es algo general, del tipo x+90°*k, donde k es un entero y x es la incógnita [vamos, que esto de es Trigonometría]), luego se iguala la solución a 2013, para despejar k (esto para ahorrar algo de tiempo), finalmente empezamos a sustituir valores naturales cercanos a la k hallada en la “ecuación-solución” (la misma de donde la despejamos), hasta que hallemos las dos soluciones naturales más cercanas al 2013° (una menor y otra mayor).

Santiago Restrepo Castillo


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