El origen del Cálculo Integral (+ la integral como límite y anti-derivada)

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Sabemos que la integral es una antiderivada, y el área bajo la curva, ¿pero…de dónde vienen dichas definiciones?

En la Antigua Grecia, los grandes matemáticos idearon un proceso mediante el cual podían hallar el área de cualquier figura, siempre y cuando ésta pudiese ser dividida en otras figuras geométricas más elementales (como triángulos); este era conocido como el Método Agotamiento.

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Este método era relativamente ingenioso, pero aún estaba lejos de la presentación formal de la integral, además de que presentaba fallas cuando se quería hallar el área de una figura curva.

Los griegos competían con el fin de encontrar un método general de cuadraturas, un proceso mediante el cual pudieran hallar el área de cualquier figura curva, un proceso que les permitiera cuadrar cualquier forma bidimensional…No lo lograron.

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Aún sí, cabe destacar el logro de uno de dichos matemáticos: Arquímides de Siracusa (287a.C. – 212a.C.), quien mediante un ingenioso argumento geométrico, descubrió que el área del segmento de parábola desde x=0 hasta x=t es igual a (1/3)t^3. Hoy en día sabemos que esto es igual a la integral de 0 a t de la función x^2, que es la función que define una parábola. Él no lo sabía, su demostración fue puramente geométrica.

20El caso específico de t=10 para el descubrimiento de Arquímides

Más o menos a partir del siglo III d.C. (suceso relacionado con la destrucción de la Biblioteca de Alejandría) no pasó mucho con respecto al desarrollo del cálculo por un buen tiempo…Pero afortunadamente, después del Oscurantismo, a partir del Renacimiento y la Ilustración, momento en el que renacieron los ideales jónicos y en países como Holanda se abrazaron la ciencia y la técnica, el desarrollo de la Humanidad desde un punto de vista no místico, y se estimuló el factor psicológico de las sociedades hacia la admiración por el conocimiento, aparecieron personajes como Kepler, Pierre de Fermat, René Descartes, entre otros. Todos ellos hicieron aportes al descubrimiento del cálculo; por ejemplo Pierre de Fermat y René Descartes combinaron Álgebra y Geometría para expresar figuras geométricas con ecuaciones algebraicas, de ahí viene el plano cartesiano.

Entre los siglos XVII y XVIII aparecieron los dos personajes que darían por fin solución al problema que plantearon los Antiguos Griegos: Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Desafortunadamente, este par nunca llegó a conocerse personalmente, aunque mantenían contacto por correspondencia, pero nunca trabajaron juntos, sino que se limitaron a competir entre ellos. Cada uno inventó su propia versión del cálculo (casi en paralelo), Newton se lo guardó todo durante unos treinta años, mientras que Leibniz publicó su trabajo sin tapujos.

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Por razones que me atrevo a calificar de excesivamente retrógradas y bañadas de un elitismo completamente innecesario, Leibniz fue juzgado como culpable ante la acusación de que había plagiado las ideas de Newton de las cartas que éste le enviaba. Se puede decir que esto llevó a Leibniz a morir de amargura (mientras tanto, Newton se vanagloriaba diciendo que había destrozado el corazón de Leibniz).

En fin.

Durante casi un siglo prevalecieron las notaciones de Isaac Newton para el Cálculo, basado principalmente en límites de razones, pero eventualmente se empezó a adoptar la notación del Cálculo de Leibniz, el cual, en ciertos aspectos, era mejor que el de Newton. Fue Leibniz quien ideó la notación que hoy en día usamos para las integrales, basándose en la palabra latina summa, que significa suma.

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Dejando ahora de lado la historia, ¿cómo fue que se resolvió entonces el problema de la cuadratura general de una figura geométrica (cualquiera)?

En realidad hay varios métodos para esto, los cuales pueden visualizar en el siguiente enlace: http://www.wolframalpha.com/examples/NumericalIntegration.html

Uno de los métodos más básicos es el de las Sumas de Riemann, que es (por lo general) el método que se ilustra en universidades (y en algunos colegios) cuando se empieza a tratar el Cálculo Integral (bueno, no en todas, en algunas simplemente se empieza a integrar simbólicamente…pienso yo que no es adecuada esa manera de abordar el tema). Dicho método fue ingeniado por este señor: Georg Friedrich Bernhard Riemann, y es el método que ilustraré, pues es que el define a la integral como un límite (el límite de una sumatoria; o lo que es casi lo mismo, este método define a la integral como una serie infinita).

El área bajo la curva de una función y=f(x) podríamos intentar hallarla realizando cuadratura con muchos rectángulos, hallando luego el área de cada uno para después sumar todas las áreas (algo parecido al Método Agotamiento)…uno pensaría que esto funciona a la perfección para funciones simples, pero que para funciones cuadráticas, de grado mayor o de otro tipo (trigonométricas, exponenciales, logarítmicas…en general, curvas) nos toparíamos con el problema de que al parecer no importa cuántos rectángulos utilicemos en nuestra cuadratura, siempre va a faltar un pedazo del área…pero fijémonos en el hecho de que entre más rectángulos usamos, más cercano al resultado exacto va a ser nuestra área, mejor será nuestra aproximación.

Por lo tanto, si utilizamos un número infinito de rectángulos, cada uno con largo y=f(x) para cada valor de x en el intervalo [a,b] y ancho delta de x, nuestra área no será más una aproximación.

 thiiiiis

¿Pero qué es delta de x?

El delta de x representa un cambio muy muy pequeño en x, es la distancia que hay entre dos abscisas de uno de nuestros rectángulos cualquiera, específicamente, las abscisas de la base del rectángulo. Observemos que a cada abscisa le correspondería un valor de x, donde el valor para x de la abscisa que está más cerca del origen del sistema de coordenadas es menor que el valor de la abscisa que está un poco más alejada. El delta de x quiere decir que estamos utilizando una variación increíblemente pequeña…mejor dicho, delta de x tiende a cero.

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Donde n representa el número de rectángulos que usaremos. Por eso lo de que delta(x) tiende a cero, cualquier número divido entre infinito es igual a cero.

Así las cosas, para hallar el área de cada rectángulo, tenemos que realizar el producto entre su base y su altura, es decir, el producto f(x)*delta(x), y para hallar entonces el área buscada tendríamos que realizar la suma de todas las áreas anteriormente encontradas. Pero aún hay un problema: ya tenemos delta(x) en término de lo que necesitamos para poder realizar la suma (a, b y n, que representan el intervalo dado y el número de rectángulos respectivamente), ¿pero cómo expresamos f(x) en término de estas cantidades?

n

La igualdad anterior resuelve dicho problema, donde i representa el contador de la sumatoria a proponer.

Imaginemos la función más simple posible:

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La a representa la existencia del intervalo, se deben empezar a tener en cuenta las alturas de los rectángulos a partir del punto en el que empieza el área a determinar.

El producto i*delta(x) representa el número de delta(x) en el que se está “barriendo” el área.

Así las cosas, el área de cada rectángulo es:

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Para hallar el área total tenemos que sumar muchos rectángulos, muchos, ¡infinitos!, entonces debemos realizar el siguiente límite:

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Después de haber explicado la razón de todo esto, resulta bastante sencillo entender la definición de la integral como límite, con esta definición se puede realizar la cuadratura de cualquier figura geométrica, por más curva que sea (a menos que la integral sea no convergente).

Hasta ahí lo de la integral como límite.

La integral como antiderivada es el resultado del Teorema Fundamental del Cálculo, el cual surge del descubrimiento de Arquímedes (pues hasta la integral como límite, no se podía hallar un resultado simbólico de una integral, sino únicamente un resultado numérico). Se sabía entonces que la función área de un segmento parabólico definido por f(x)=y=x^2, es A(t)=(1/3)t^3..la pregunta es, ¿cuál es la derivada de la función área?, pues resulta que es la función original.

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Se procedió entonces a probar con muchas otras funciones área previamente definidas y resultó ser que siempre pasaba lo mismo, la derivada de una función área era la función que al integrarla daba como resultado la misma función área. En conclusión, la diferenciación (o derivación) y la integración son procesos inversos.

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Teorema Fundamental del Cálculo (T.F.C.)

De dicho teorema resultó el concepto de la integral como antiderivada, que es el que utilizamos hoy en día, pues ofrece resultados tanto simbólicos como numéricos, y es mucho más cómodo y directo que la integral como límite.

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Resulta bastante interesante que a partir del problema de la cuadratura general propuesto por los Antiguos Griegos se haya llegado a la antiderivación, o sea el proceso inverso a hallar la pendiente de una función en un punto dado. ¿Qué piensan ustedes?

Nota: La integral no solo tiene aplicaciones geométricas, es una herramienta increíblemente útil, esencial para el desarrollo científico y tecnológico de la Humanidad.

Santiago Restrepo Castillo


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