La raíz cuadrada de la raíz cuadrada de la raíz cuadrada…una paradoja y una contradicción

El pasado lunes 29 de julio fui a visitar a mis tías a Fredonia, un pintoresco pueblo del sur de Antioquia. Me quedé aproximadamente siete días, casi una semana en la que estudié Ecuaciones Diferenciales, hice deporte y descansé de tener que preparar mis propias comidas y barrer, trapear o cualquier cosa que se le parezca.

Hoy en la tarde, pocas horas antes de regresar a Medellín (¡qué hermosa ciudad!), tuve que cuidar la tienda de mi tío por un rato, en donde hay una calculadora sencilla (más conocida en el bajo mundo como “suma-huevos”), de esas que solo sirven para operaciones básicas (no, nada de integrales, gráficas o sumatorias); en pro de entretenerme mientras cumplía con mi labor, decidí recurrir a un típico juego: pensar en un número positivo cualquiera cuya raíz cuadrada no sea un número entero (por ejemplo el ocho) e intentar hallar su raíz cuadrada por medio de ensayo y error.

Empecé precisamente con el número ocho: cuatro por cuatro da dieciséis (casi siempre), tres por tres da nueve, dos por dos da cuatro…entonces la raíz cuadrada de ocho es mayor que dos pero menor que tres. Procedí a intentar con dos punto cinco, y así y así y así; la gracia de esta actividad es que cada vez hay que ir haciendo más y más pequeño el intervalo en el que está contenida la raíz cuadrada del número pensado, y también el hecho de que para poder continuar hay que recordar secuencias de números cada vez más largas (por ejemplo para el ocho, llegué hasta el número 2.82842712 antes de cansarme y distraerme). El chiste del juego es que es prácticamente imposible hallar a punta de ensayo y error la raíz cuadrada exacta de un número positivo del cual sabemos ya que su raíz cuadrada no es un número entero, y esto es precisamente porque dichos números son irracionales, por lo que las secuencias son infinitas; solo se puede aspirar a la aproximación más cercana “posible” (en mi caso, lo posible se veía limitado por la cantidad de números que caben en la pantalla de una suma-huevos).

Después de aburrirme de aquel juego, empecé a hacer la única otra cosa interesante que se me ocurre hacer con una calculadora sencilla: teclear un número positivo cualquiera y apretar el botón de raíz cuadrada hasta que aparezca el uno en la pantalla.

Eso lo había hecho muchas veces antes, pero no le había prestado mucha atención. Pues resulta que apenas en ese momento de la tarde de hoy, me pregunté seriamente cómo era posible que esto sucediera, y por qué sucedía; lo pensé unos segundos y me percaté de que contaba con herramientas para demostrar que al sacarle raíz cuadrada una cantidad indefinida de veces a un número positivo cualquiera, el resultado era uno…y es muy simple en realidad, es un límite de lo más sencillo, logré demostrar lo mencionado en cuestión de segundos.

Enunciado:

Sea un número n cualquiera, saquemos su raíz cuadrada, luego saquemos la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de n, y hagamos lo mismo con dicho resultado un número infinito de veces. ¿Cuál es el resultado final y por qué?

Solución:

raices

Representación gráfica

Por propiedades de la raíz, sabemos que esto es equivalente a:

exponente

Por propiedades de los exponentes, podemos multiplicar todos los exponentes entre sí, lo que nos da, resumiendo:

capturada

Resolvamos:

resuelto

Ya está, bastante simple, ¿verdad?

En el título de esta entrada dice “una paradoja y una contradicción”. La paradoja es algo que realmente no entiendo muy bien, y sé que lógicamente es algo que está intrínsecamente relacionado con el infinito y sus enredos, pero definitivamente me parece extraño (no me lo trago entero).

La raíz cuadrada de uno, es uno, obviamente…¿y la raíz cuadrada de 1.00000000000000000000000000000001?, he aquí la respuesta de Wolfram Alpha:

wooo

Realmente hay más dígitos, muchos más, tantos que no me fue posible tomarle una captura de pantalla al número entero sin que no se viera nada (al alejar tanto el zoom ya no se distinguían las cosas).

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%281.00000000000000000000000000000001%29&dataset=

Si hacen lo que yo hice en esta tarde con una calculadora cualquiera (digitar un número, luego presionar la tecla de raíz cuadrada una y otra y otra vez), verán que el resultado es cada vez menor, y todos se van acercando al número uno; en la pantalla llegan a verse números como el 1.0000004, 1.000000023, y así, números cada vez menores, y al parecer, en un punto determinado, el software de la calculadora (por la finalidad con la que ésta fue construida), decide ignorar los cientos (y quizás miles) de dígitos que en realidad posee la raíz cuadrada de un número muy, muy cercano al uno, y arroja como resultado, el uno, sin coma ni ceros a su derecha, simplemente el uno. Si hiciéramos dicho proceso con un software complejo como el de Wolfram Alpha, podríamos quedarnos toda una vida reduciendo y reduciendo la raíz cuadrada, pero jamás llegaríamos al uno siguiendo las reglas del juego (una raíz cuadrada a la vez).

¿No parece ilógico que al final, la raíz cuadrada de un número que en definitiva es diferente de uno, sea uno?

El único argumento que se me ocurre para dar respuesta a aquella idea, que yo entiendo como una paradoja matemática, es el hecho de que el infinito no es número, sino una tendencia, y al percibir que las raíces cuadradas se van acercando cada vez más al uno, en el infinito, finalmente se llega al mismo…aún así aquello no deja de insultar mi lógica más elemental, o quizás simplemente no deja de sorprenderme.

¿Y qué hay de la contradicción?

En este punto debo hacer una aclaración: si n es mayor que cero, el resultado del límite propuesto es uno; si n es menor que cero, el resultado es menos uno (esto quiere decir que el truco también funciona para números complejos); ¿y si n es cero?

Si a cero le saco raíz cuadrada, obtengo como respuesta cero, y si hago lo mismo, pues de nuevo aparecerá un cero, y no importa cuántas veces repita el proceso, cero es lo único que voy a obtener como respuesta. Desde ese punto de vista, si n es cero, al sacar infinitas raíces cuadradas debería obtener como resultado, cero…pero resulta que propuesto como límite, la expresión a la que llego es nada más y nada menos que:

cero

Cero elevado a la cero.

Ya sabemos bien que dicha expresión es una indeterminación, realmente no se sabe cuál es su resultado…puede ser cualquier cosa (ya hablé de algo relacionado al tema por aquí https://castillorestreposantiago.wordpress.com/2012/12/04/entonces-log_00/)

indet

Pero lo que me dice Wolfram cuando le introduzco el límite propuesto, con n=0, es algo totalmente distinto a “(indeterminate)”, lo cual me sorprende…¿a caso hay un error en el software de Wolfram Alpha al resolver dicho límite?, ¿acaso me equivoqué yo al solucionar el límite?…¿o qué pasa?, sea lo que sea, yo veo claramente una contradicción.

asdfasf

Parece haber una contradicción entre el resultado del límite y la expresión 0^0…al parecer no son equivalentes, y realmente no entiendo por qué.

Por ahora, esto tendrá que permanecer como una incógnita para mí y para todo lector que se haya sentido lo suficientemente interesado (a menos que tenga una respuesta contundente y clara) hasta que logre compartirlo con personas que seguramente sabrán qué decirme al respecto.

Santiago Restrepo Castillo


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