Integrales perversas

En medio de mis estudios autónomos de Ecuaciones Diferenciales me he encontrado varias veces con integrales que parecen ridículamente difíciles de resolver (tanto así que en ciertas ocasiones he tenido la tentación de dejar las soluciones expresadas en términos de integrales), con tan solo verlas descarto los métodos más simples que existen para resolver integrales, e inmediatamente empiezo a pensar en fracciones parciales o hasta en series de potencias. Gasto páginas enteras tratando de resolver a la infeliz, hasta que desisto y le pido al todopoderoso Wolfram Alpha que solucione por mí aquello que me agobia.

Las soluciones son, generalmente, mucho más sencillas de lo que las esperaba…me siento algo tonto, sobretodo cuando le pido a Wolfram la step-by-step solution…¿y qué creen?, pura sustitución simple.

He aquí la más perversa de las integrales que me encontrado hasta el momento…tan perversa que me dejó cautivado.

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Seguramente habrán lectores que al apenas analizar durante unos segundos la integral, sepan cómo resolverla, cosa que no pasó conmigo; a continuación, mi intento fallido:

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Definitivamente NO. Si la integración por partes no te simplifica la integral, solo estás empeorando las cosas, y ahí terminé con algo parecido a una integral doble, que en realidad no es más que la integral de una integral que no supe resolver y que es, de hecho, la mitad del problema.

¿Qué otra cosa se me ocurrió?, pues la siguiente:

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Admito que la representación como serie de potencias para f(x) y g(x) se la pregunté a Wolfram (con este tipo de problemas, tengo un estilo bastante extraño, me gusta exprimirlos hasta más no poder; podría haberle dicho a Wolfram que resolviera la integral desde un principio, pero no, yo quería intentar todo lo que pudiera antes de hacer eso). En series de potencias me siento algo crudo, pues la verdad no recuerdo cómo integrar series como las que equivalen a las funciones f(x) y g(x); tras repasar los apuntes de Cálculo Integral concluí que no puedo integrarlas así como están, porque no tienen la forma del teorema de derivación e integración de funciones en términos de series de potencias.

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Aclaremos primero que “a” debe ser una constante. La serie de potencias que representa a la función, debe tener la forma presentada en el teorema. Pues resulta que mis series de potencias (bueno, las de Wolfram) no tienen esa forma, tengo los C_n, pero no tengo el (x-a)^n, en lugar de eso tengo un polinomio de x…Es más, hice una integración forzada de una de dichas series de potencias y luego la expandí hasta el cuarto término (n=3), después tomé la “expansión de la serie” de Wolfram para dicha serie (no es más que una forma menos compacta de expresarla), integré los tres primeros términos y los comparé con los de mi expansión…no concordaban (con lo que concluí que mi integración no era correcta y, además, que efectivamente el término enésimo de la serie de potencias debe tener la forma del teorema para integrarla como el mismo dice que se hace).

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Esa es la expansión de la serie, lo que hice fue integrar los tres primeros términos y comparar.

Bueno…muchas vueltas y la meta cada vez más lejos, hora de preguntarle a Wolfram.

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Entonces me dije…”¡Pues claro!”…esto se hace así:

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Lo sé, ridículamente simple.

Pero esto no fue lo que más me sorprendió. Tras resolver la integral por sustitución simple, me pregunté “¿Cómo se resuelve si la separo como la suma de dos integrales?”, es decir, ¿cómo resuelvo las integrales que planteé en mi primer intento fallido? Ingresé en Wolfram dichos problemas, y éste me lanzó soluciones que involucraban a erf(x), la función error.

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Lógicamente, al sumar las dos integrales, se cancela la parte que no hace parte de la solución final…Y esto, esto fue para mí como el recordatorio de una profunda y repetida enseñanza: problemas aparentemente complejos tienen soluciones increíblemente simples.

Por cierto, Wolfram no me muestra la step-by-step solution de ninguna de estas dos integrales, entonces vaya uno a saber cómo se resuelven. Sin embargo, alguien con el conocimiento suficiente, podría hacer lo primero que uno hace (casi siempre) cuando ve que la integral puede expresarse como la suma de dos o más integrales…o sea precisamente eso, y resolver cada integral por separado, lo cual, estoy seguro, le tomaría mucho más tiempo que hacer una sustitución simple.

Así que, ingenieros y matemáticos, nunca olvidemos los métodos sencillos, muchas veces son capaces de resolver problemas aparentemente complejos.

Santiago Restrepo Castillo


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